RAZONES TRIGONOMETRICAS

Objetivo 1 HALLAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS




Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.

Como todos los triángulos rectángulos que tienen igual medida de
A son semejantes, el valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida de A. No depende del tamaño del triángulo.

Hallar razones trigonométricas

Para  PQR, halla el seno, el coseno y la tangente de
P y
Q.

Solución

La longitud de la hipotenusa es de 5. 

Para
<P, la longitud del cateto opuesto es de 4, y la longitud del cateto adyacente es de 3.

Para
Q, la longitud del cateto opuesto es de 3, y la longitud del cateto adyacente es de 4.

Objetivo 2 USAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Resolver con el teorema de Pitágoras

Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para hallar la longitud, h, de la hipotenusa.

Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto adyacente tiene una longitud de 10.

Seno, coseno y tangente de un ángulo

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. Luego, usa el triángulo para hallar el seno, el coseno y la tangente de 45°.

Solución

Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes, de manera que puedes dibujar uno de cualquier tamaño. Por ejemplo, usa catetos de longitud 1. Luego, halla la longitud de la hipotenusa.

El cateto opuesto y el cateto adyacente tienen ambos una longitud de 1.

DIAGRAMA CAJA-BRAZOS

Un diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos. Está compuesto por un rectángulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".

Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución.

En el diagrama anterior podemos observar un ejemplo de un diagrama caja-brazos y sus diversas caracteristicas. Para entenderlo mas describiremos cada unas de las partes que lo conforman.

LI: significa Limite Inferior y es el dato mas pequeño que podramos encontrar en nuestro conjunto de datos

Q1: significa Cuartil 1 y comprende el espacio que existe entre el limite inferior y el y significan el 25% de nuestro conjunto de datos que previamente han sido ordenados de menor a mayor

Q2: significa Cuartil 2 y comprenden el espacio que hay entre el Cuartil  1 y Cuartil 2 y su valor es otro 25% de los datos de nuestro conjunto y por ende el lugar donde se localiza el Cuartil 2 significa que tenemos el 50% de los datos o la mediana de nuestro conjunto de datos

Q3: significa Cuartil 3 y comprende otro 25% de nuestro conjunto de datos y en el se localiza el 75 % de nuestro conjunto de datos

LS: significa Limite Superior y en el se localiza el dato mas grande de nuestro conjunto de datos. En el se  localiza el 100% de nuestros datos

"HOMOTECIA COMO APLICACION DEL TEOREMA DE TALES"

Homotecia

Definición
Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.


Homotecias de centro el origen de coordenadas


En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky

Teorema de Tales. Semejanza de polígonos

Teorema de Tales


Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En el ejemplo de la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.


Semejanza de triángulos


Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza

ESCALAS

La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.

Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.

Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:

E = dibujo / realidad

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario.

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala:

Por ejemplo en el caso E 3:5

1) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un angulo cualquiera

2) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.

3) Cualquier dimensión real situada sobre r sera convertida en la del dibujo mediante una simple paralela AB

Efecto del dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, el área y volumen 

MATRICES

RECTAS Y SEGMENTOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Rectas  

•       Centro. Es el punto fijo dentro de la circunferencia, cuya distancia a cualquier punto en el contorno es la misma.

•       Circunferencia. Contorno exterior del circulo, también se conoce como el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es la misma.

•       Radio. Es la distancia del centro del circulo a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

•       Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

•       Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Segmentos

•       Secante. Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos diferentes

•       Recta exterior.  Son todas las rectas que no cortan la circunferencia

•       Recta tangente. Es la recta que toca la circunferencia en un solo punto

•       Recta normal. Es una recta secante que además pasa por el centro de la circunferencia; es importante señalar que la recta tangente y la normal forman un ángulo de 90°

Aplicaciones

Usando las definiciones del triangulo y las medidas de los ángulos es posible determinar si una recta es normal o es tangente o de cualquier otro tipo de recta del circulo.

Ejemplo

—  En la figura, determina si la recta R es tangente a la circunferencia.

                                                                  

 

ü  Los puntos A,B y C forman un triangulo en el cual la suma de sus ángulos debe ser 180°, si la recta es tangente al círculo, entonces el ángulo BAC debe  de ser recto, es decir, medir 90°.

ü  Entonces: < A+<B+<C=180°, pero al colocar la suma de los ángulos :90° +57° + 41= 188°, se observa que la medida del ángulo A no es de 90°, por tanto la recta R no puede ser tangente a la circunferencia pues forma un ángulo diferente a 90° con la recta que une al punto de corte con el centro

ü   

Ángulos inscritos y centrales del círculo

—  Se llama ángulo inscrito a un circulo , al ángulo que cumple con tener su vértice sobre la circunferencia .

—  Se llama ángulo central al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

— 

Uno de los teoremas mas importantes de la geometría dice que cuando los lados de un ángulo central cortan a la circunferencia en los puntos A y B y los lados de un ángulo inscrito cortan a la circunferencia en los mismos puntos A y B, entonces la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito, es decir:

—  En la siguiente figura determina el valor del ángulo <OPQ:

ü  Por definición <PCQ = 2 x (<POQ)

                                               48°= 2 x (<POQ), entonces:

                                                              <POQ= 48/2 = 24°

—  En la siguiente figura determina el valor del ángulo <ABC:

ü  Para este caso, se emplea la definición que dice: el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, entonces:

                                                              2(3x-5)=5x+10

ü  Resolviendo la ecuación 6x-10=5x+10

                    6x-5x=10+10

                       x=20

ü  Para hallar el valor de <ABC se sustituye el valor de x en su definición:

               <ABC = 5x+10 =5(20)+10 = 100 + 10 =110°

Arcos y sectores del círculo

—  Para el área determinada por el sector ABC se emplea la formula:

                                               A=Ѳ∏r² /360

Donde: Ѳ = medida del ángulo en grados

                                : r  = radio del circulo

             : ∏ = 3.1416

  

—  Para la medida del arco AB se emplea la formula :  

 

                                                               Arco AB= Ѳ∏D /360

Donde: Ѳ = medida del ángulo en grados

                                : D = diámetro  del circulo

             : ∏ = 3.1416

Ejemplo

—  Calcula la medida del arco y el valor del sector determinado por un ángulo de 82°, en un circulo de 6cm de radio

ü  Los datos que se proporcionan por el problema son:

ü  Ѳ = 82°                 r = 6cm                 d= 2x r = 12cm                  ∏ = 3.1416

Área del sector =(82°)(3.1416)(6cm)² / 360 = 25.76 cm²

Arco AB = =(82°)(3.1416)(12cm) / 360 = 8.587 cm

METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION

CONCEPTO DE METODO DE INVESTIGACION

 

"Es una especie de brújula en la que no se produce automáticamente el saber, pero que evita perdernos en el caos aparente de los fenómenos, aunque solo sea porque nos indica como no plantear los problemas y como no sucumbir en el embrujo de nuestros prejuicios predilectos."

El método independiente del objeto al que se aplique, tiene como objetivo solucionar problemas.
Las diversas clases de métodos de investigación

Podemos establecer dos grandes clases de métodos de investigación : los métodos lógicos y los empíricos. Los primeros son todos aquellos que se basan en la utilización del pensamiento en sus funciones de deducción, análisis y síntesis, mientras que los métodos empíricos, se aproximan al conocimiento del objeto mediante sus conocimiento directo y el uso de la experiencia, entre ellos encontramos la observación y la experimentación.

MÉTODO LÓGICO DEDUCTIVO

a)Primero consiste en encontrar principios desconocidos, a partir de los conocidos. Una ley o principio puede reducirse a otra mas general que la incluya. Si un cuerpo cae decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación
b)También sirve para descubrir consecuencias desconocidas, de principios conocidos. Si sabemos que la formula de la velocidad es v=e/t, podremos calcular la velocidad de un avión. La matemática es la ciencia deductiva por excelencia; parte de axiomas y definiciones.

MÉTODO DEDUCTIVO DIRECTO – INFERENCIA O CONCLUSIÓN INMEDIATA.

 

 Se obtiene el juicio de una sola premisa, es decir que se llega a una conclusión directa sin intermediarios.

Ejemplo:
"Los libros son cultura"
"En consecuencia, algunas manifestaciones culturales son libros"

MÉTODO DEDUCTIVO INDIRECTO – INFERENCIA O CONCLUSIÓN MEDIATA - FORMAL.

 

Necesita de silogismos lógicos, en donde silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, es decir se comparan dos extremos(premisas o terminos) con un tercero para descubrir la relación entre ellos.

 

La premisa mayor contiene la proposición universal, la premisa menor contiene la proposición particular, de su comparación resulta la conclusión.

 Ejemplo:
"Los ingleses son puntuales"
"William es ingles"
"Por tanto, William es puntual"

MÉTODO HIPOTÉTICO-DEDUCTIVO

Un investigador propone una hipótesis como consecuencia de sus inferencias del conjunto de datos empíricos o de principios y leyes más generales. En el primer caso arriba a la hipótesis mediante procedimientos inductivos y en segundo caso mediante procedimientos deductivos. Es la vía primera de inferencias lógico deductivas para arribar a conclusiones particulares a partir de la hipótesis y que después se puedan comprobar experimentalmente.

MÉTODO LÓGICO INDUCTIVO

Es el razonamiento que, partiendo de casos particulares, se eleva a conocimientos generales. Este método permite la formación de hipótesis, investigación de leyes científicas, y las demostraciones. La inducción puede ser completa o incompleta.

INDUCCIÓN COMPLETA.

 

La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que forman el objeto de investigación, es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además, cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de investigación. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo, solo que en ellas se toman muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa.

 

Ejemplo:
"Al estudiar el rendimiento académico de los estudiantes del curso de tercero de administración, estudiamos los resultados de todos los estudiantes del curso, dado que el objeto de estudio es relativamente pequeño, 25 alumnos. Concluimos que el rendimiento promedio es bueno. Tal conclusión es posible mediante el análisis de todos y cada uno de los miembros del curso."

 

Pasos para una buena metodologia de la investigacion :

 

 

Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares, a partir de un enlace de juicios. El papel de la deducción en la investigación es doble: