RECTAS Y SEGMENTOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Rectas  

•       Centro. Es el punto fijo dentro de la circunferencia, cuya distancia a cualquier punto en el contorno es la misma.

•       Circunferencia. Contorno exterior del circulo, también se conoce como el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es la misma.

•       Radio. Es la distancia del centro del circulo a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

•       Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

•       Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Segmentos

•       Secante. Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos diferentes

•       Recta exterior.  Son todas las rectas que no cortan la circunferencia

•       Recta tangente. Es la recta que toca la circunferencia en un solo punto

•       Recta normal. Es una recta secante que además pasa por el centro de la circunferencia; es importante señalar que la recta tangente y la normal forman un ángulo de 90°

Aplicaciones

Usando las definiciones del triangulo y las medidas de los ángulos es posible determinar si una recta es normal o es tangente o de cualquier otro tipo de recta del circulo.

Ejemplo

—  En la figura, determina si la recta R es tangente a la circunferencia.

                                                                  

 

ü  Los puntos A,B y C forman un triangulo en el cual la suma de sus ángulos debe ser 180°, si la recta es tangente al círculo, entonces el ángulo BAC debe  de ser recto, es decir, medir 90°.

ü  Entonces: < A+<B+<C=180°, pero al colocar la suma de los ángulos :90° +57° + 41= 188°, se observa que la medida del ángulo A no es de 90°, por tanto la recta R no puede ser tangente a la circunferencia pues forma un ángulo diferente a 90° con la recta que une al punto de corte con el centro

ü   

Ángulos inscritos y centrales del círculo

—  Se llama ángulo inscrito a un circulo , al ángulo que cumple con tener su vértice sobre la circunferencia .

—  Se llama ángulo central al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

— 

Uno de los teoremas mas importantes de la geometría dice que cuando los lados de un ángulo central cortan a la circunferencia en los puntos A y B y los lados de un ángulo inscrito cortan a la circunferencia en los mismos puntos A y B, entonces la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito, es decir:

—  En la siguiente figura determina el valor del ángulo <OPQ:

ü  Por definición <PCQ = 2 x (<POQ)

                                               48°= 2 x (<POQ), entonces:

                                                              <POQ= 48/2 = 24°

—  En la siguiente figura determina el valor del ángulo <ABC:

ü  Para este caso, se emplea la definición que dice: el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, entonces:

                                                              2(3x-5)=5x+10

ü  Resolviendo la ecuación 6x-10=5x+10

                    6x-5x=10+10

                       x=20

ü  Para hallar el valor de <ABC se sustituye el valor de x en su definición:

               <ABC = 5x+10 =5(20)+10 = 100 + 10 =110°

Arcos y sectores del círculo

—  Para el área determinada por el sector ABC se emplea la formula:

                                               A=Ѳ∏r² /360

Donde: Ѳ = medida del ángulo en grados

                                : r  = radio del circulo

             : ∏ = 3.1416

  

—  Para la medida del arco AB se emplea la formula :  

 

                                                               Arco AB= Ѳ∏D /360

Donde: Ѳ = medida del ángulo en grados

                                : D = diámetro  del circulo

             : ∏ = 3.1416

Ejemplo

—  Calcula la medida del arco y el valor del sector determinado por un ángulo de 82°, en un circulo de 6cm de radio

ü  Los datos que se proporcionan por el problema son:

ü  Ѳ = 82°                 r = 6cm                 d= 2x r = 12cm                  ∏ = 3.1416

Área del sector =(82°)(3.1416)(6cm)² / 360 = 25.76 cm²

Arco AB = =(82°)(3.1416)(12cm) / 360 = 8.587 cm