RAZONES TRIGONOMETRICAS

Objetivo 1 HALLAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS




Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.

Como todos los triángulos rectángulos que tienen igual medida de
A son semejantes, el valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida de A. No depende del tamaño del triángulo.

Hallar razones trigonométricas

Para  PQR, halla el seno, el coseno y la tangente de
P y
Q.

Solución

La longitud de la hipotenusa es de 5. 

Para
<P, la longitud del cateto opuesto es de 4, y la longitud del cateto adyacente es de 3.

Para
Q, la longitud del cateto opuesto es de 3, y la longitud del cateto adyacente es de 4.

Objetivo 2 USAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Resolver con el teorema de Pitágoras

Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para hallar la longitud, h, de la hipotenusa.

Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto adyacente tiene una longitud de 10.

Seno, coseno y tangente de un ángulo

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. Luego, usa el triángulo para hallar el seno, el coseno y la tangente de 45°.

Solución

Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes, de manera que puedes dibujar uno de cualquier tamaño. Por ejemplo, usa catetos de longitud 1. Luego, halla la longitud de la hipotenusa.

El cateto opuesto y el cateto adyacente tienen ambos una longitud de 1.

DIAGRAMA CAJA-BRAZOS

Un diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos. Está compuesto por un rectángulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".

Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución.

En el diagrama anterior podemos observar un ejemplo de un diagrama caja-brazos y sus diversas caracteristicas. Para entenderlo mas describiremos cada unas de las partes que lo conforman.

LI: significa Limite Inferior y es el dato mas pequeño que podramos encontrar en nuestro conjunto de datos

Q1: significa Cuartil 1 y comprende el espacio que existe entre el limite inferior y el y significan el 25% de nuestro conjunto de datos que previamente han sido ordenados de menor a mayor

Q2: significa Cuartil 2 y comprenden el espacio que hay entre el Cuartil  1 y Cuartil 2 y su valor es otro 25% de los datos de nuestro conjunto y por ende el lugar donde se localiza el Cuartil 2 significa que tenemos el 50% de los datos o la mediana de nuestro conjunto de datos

Q3: significa Cuartil 3 y comprende otro 25% de nuestro conjunto de datos y en el se localiza el 75 % de nuestro conjunto de datos

LS: significa Limite Superior y en el se localiza el dato mas grande de nuestro conjunto de datos. En el se  localiza el 100% de nuestros datos

"HOMOTECIA COMO APLICACION DEL TEOREMA DE TALES"

Homotecia

Definición
Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.


Homotecias de centro el origen de coordenadas


En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky

Teorema de Tales. Semejanza de polígonos

Teorema de Tales


Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En el ejemplo de la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.


Semejanza de triángulos


Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza

ESCALAS

La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.

Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.

Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:

E = dibujo / realidad

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario.

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una escala:

Por ejemplo en el caso E 3:5

1) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un angulo cualquiera

2) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.

3) Cualquier dimensión real situada sobre r sera convertida en la del dibujo mediante una simple paralela AB

Efecto del dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, el área y volumen